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《 复数 》知识点及练习
一．基本知识
【1 1 】复数的基本概念
（1 1 ）形如 a
+ b i 的数叫做复数（其中 R b a ， ）；
复数的单位为 i，它的平方等于－1，即 1 i2 . 其中 a叫做复数的实部， b 叫做虚部 实数：当 b = 0 时复数 a +
b i 为实数 虚数：当 0 b 时的复数 a
+ b i 为虚数；
纯虚数：当 a = 0 且 0 b 时的复数 a
+
b i 为纯虚数 （2 2 ）
两个复数相等的定义：
0 0 b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地 ， ， ， ， （其中， 且 （3 3 ）共轭复数：
z a bi 的共轭记作 z a bi ；
（4 4 ）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；
z a bi ，对应点坐标为 , p a b ；
（象限的复习）
（5 5 ）复数的模：对于复数 z a bi ，把2 2z a b 叫做复数 z 的模；
【2 2 】复数的基本 运算
设1 1 1z a bi ，2 2 2z a b i
（1 1 ）
加法：
1 2 1 2 1 2z z a a b b i ；
（2 2 ）
减法：
1 2 1 2 1 2z z a a b b i ；
（3 3 ）
乘法：
1 2 1 2 1 2 2 1 1 2z z aa bb a b ab i
特别2 2z z a b 。
（4 4 ）幂运算：1i i 21 i 3i i 41 i 5i i 61 i
【3 3 】复数的化简
c diza bi（ , a b 是均不为 0 的实数）；
的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数： 2 2ac bd ad bc ic di c di a biza bi a bi a bi a b 对于 0c diz a ba bi ，当c da b 时 z 为实数；
当 z 为纯虚数是 z 可设为c diz xia bi 进一步建立方程求解
二． 例题分析 【例 1 1 】已知 1 4 z a b i ，求 （1 1 ）
当 , a b 为何值时 z 为实数 （2 2 ）
当 , a b 为何值时 z 为纯虚数 （3 3 ）
当 , a b 为何值时 z 为虚数 （4 4 ）
当 , a b 满足什么条件时 z 对应的点在复平面内的第二象限。
【例 2 2 】已知13 4 z i ；
23 4 z a b i ，求当 , a b 为何值时1 2= z z
【例 3 3 】已知 1 z i ，求 z ， z z ；
【例 4 4 】已知12 z i ，23 2 z i
（1 1 ）
求1 2z z 的值；
（2 2 ）
求1 2z z 的值；
（3 3 ）
求1 2z z .
【例 5 5 】（2 2012 年全国卷
新课标）下面是关于复数21zi 的四个命题：其中的真命题为（
）
1 :2 p z 22 :2 p z i 3 :p z 的共轭复数为 1 i 4 :p z 的虚部为 1
( ) A2 3, p p
( ) B
1 2, p p
( ) C
, p p
() D , p p
【例 6 6 】若复数 31 2a iz a Ri （i 为虚数单位）， （1）
若 z 为实数，求 a 的值
（2 2 ）
当 z 为纯虚，求 a 的值.
【例 7 7 】复数 cos3 sin3 z i 对应的点位于第几 象限
【例 8 8】
】
（2 2012 年天津）复数73izi=
（
）
（A）
2 i
（Ｂ）
2 i
（Ｃ）
2 i
（Ｄ）
2 i
例题答案
【答案 1】(1)b=4
（2）a=-1，b≠4 （3）b≠4 （4）a<-1,b>4
【答案 2 2 】
a=6,b=8
【答案 3】
z =1+i
z z =2
【答案 4】(1) -1+i
(2)-4+7i
(3)√65 【答案 5】
c
【答案 6】（1）a=-3／2
（2）a=6 【答案 7】二 【答案 8】b
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